Toan 4 Wiki

Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt trong giải tích, là để lấy vi phân và tích phân của hàm mũ và logarit. Một hàm mũ tổng quát y=a^x có đạo hàm dưới dạng giới hạn: Giới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, và do đó e được định nghĩa bởi phương trình: Do đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp phù hợp để làm giải tích. Chọn e, không như một số số khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều. Một lý do khác đến từ việc xét cơ số logarit a. Xét định nghĩa của đạo hàm của logax bởi giới hạn: Một lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một. Vậy Logarit trong trường hợp đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên (thường được kí hiệu là "ln"), và nó cũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưa xác định nào phải thực hiện trong khi tính toán. Do đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e. Một cách...

Bài toán lãi suất kép Jacob Bernoulli đã khám phá ra hằng số này khi nghiên cứu vấn đề về lãi suất kép Một ví dụ đơn giản là một tài khoản bắt đầu với $1.00 và trả 100% lợi nhuận mỗi năm. Nếu lãi suất được trả một lần, thì đến cuối năm giá trị là $2.00; nhưng nều lãi suất được tính và cộng hai lần trong năm, thì $1 được nhân với 1.5 hai lần, ta được $1.00×1.52 = $2.25. Lãi kép hàng quí ta được $1.00×1.254 = $2.4414…, và lãi kép hàng tháng ta được $1.00×(1.0833…)12 = $2.613035…. Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với kì lãi kép càng ngày nhỏ dần. Lãi kép hàng tuần ta được $2.692597… trong khi lãi kép hàng ngày ta được $2.714567…, chỉ thêm được hai cent. Gọi n là số kì lãi kép, với lãi suất 1/n trong mỗi kì, giới hạn của n rất lớn là một số mà bây giờ ta gọi là số e; với lãi kép liên tục, giá trị tài khoản sẽ tiến tới $2.7182818…. Tổng quát hơn, một tài khoản mà bắt đầu bằng $1, và nhận được (1+R) đô-la lãi đơn, sẽ nhận được eR đô-la với lãi kép liên tục. Phép thử Bernoull...

Lịch sử số e Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618 trong bảng phụ lục của một công trình về logarit của John Napier. Thế nhưng, công trình này không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh sách các logarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e. Có thể là bảng này được soạn bởi William Oughtred. Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức: Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu diễn bởi chữ cái b, là trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và 1691. Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn Mechanica của Euler (1736). Trong những năm sau đó một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ cái c, e trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu chuẩn. Lí do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa được biết, nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từ exponential (tiếng Anh: ngh...

Một tia hy vọng đã chiếu xuống cho các nhà toán học. Cách đây sáu năm, hai nhà nghiên cứu Canada, Simon Plouffe và Peter Borwein đã cộng tác với nhà nghiên cứu Mỹ David Bailey và đã tìm ra một công thức có thể tính bất kỳ chữ số nào của pi mà không cần biết tới những chữ số nằm phía trước. Jean Paul Delahaye nhấn mạnh: “Kết quả này đã làm mọi người ngạc nhiên. Cách đây vài chục năm, những nhà toán học sẽ cười ngạo mạn, nếu bạn hỏi họ có một công thức nào như vậy không!” nhưng khuyết điểm của công thức này là nó chỉ đúng với cách viết nhị phân, chứ không đúng theo cách viết thập phân của pi (3,14159…) viết số theo lối nhị phân là cách viết trong tin học, chỉ dùng số 0 và số 1. Theo cách viết nhị phân, thì pi sẽ được viết thành: 11,0010010000111… thí dụ, công thức Bailey-Borwein-Plouffe cho phép ta tính ra chữ số lẻ thứ năm tỷ, viết theo lối nhị phân: đó là số 0. Nhưng công thức này không cho phép ta tìm ra chữ số lẻ nếu viết theo cách thập phân. Thuy vậy, công thức này đã giúp ta hiểu r...