Toan 4 Wiki

Thực tiễn không chỉ là cơ sở của nhận thức, mà còn là hòn đá thử vàng cho các chân lý khoa học. Những cuộc cách mạng trong khoa học thường gắn với yêu cầu về kỹ thuật của thời đại, của thực tiễn sản xuất. Nếu xã hội nảy ra nhu cầu về kỹ thuật, thì nhu cầu đó sẽ “đẩy khoa học tiến lên mạnh hơn cả chục trường đại học” (Ăng-ghen). Quan niệm các con số thống trị thế giới của Pythagore cũng là do đặc điểm kinh tế thời ấy là việc trao đổi hàng hóa chỉ chú trọng đến mặt lượng mà không để ý đến giá trị của hàng hóa; chế độ nô lệ coi con người như vật thể vật lý, đồ vật vật chất nên Toán học cổ của Hy lạp chủ yếu là hình học. Toán học phát triển triển mạnh kể từ sau thời Phục hưng cũng là do quan hệ sản xuất tư bản chủ nghĩa phát triển mạnh, sự phát triển ngành hàng hải, các cuộc đi biển yêu cầu phải nghiên cứu thiên văn mà thiên văn thì phải có Toán học mới phát triển được Sự phát triển của thành thị, nhu cầu xây dựng những công trình lớn (cả nhu cầu về hàng hải và chiến tranh nữa) đã làm cho ...

Sự ra đời của phương pháp tiên đề đánh dấu một bước phát triển quan trong trong Toán học. Toán học được “hình thức hóa” bằng các tiên đề. Toán học dường như bị quy về logic học, ngay cả Triết học cũng có nguy cơ bị quy về logic toán. Đó là tham vọng của chủ nghĩa logic (logicism). Người đề xướng chủ nghĩa này là nhà Toán học, logic học tài ba B. Russell. (Russell và Godel là hai nhà logic lớn nhất thế kỷ 20). Theo Russell, toàn bộ Toán học có thể quy về logic không có nội dung vật chất, trong đó những tiên đề Toán học là những nguyên lý logic tiên thiên (có trước kinh nghiệm, không phụ thuộc vào kinh nghiệm). Thật ra người ta từ lâu người ta đã nghĩ các mệnh đề Toán học vốn trống rỗng, không hề có nội dung vật chất. Nó hoàn toàn là sản phẩm của trí tuệ loài người chứ không biểu hiện gì về chân lý khách quan cả. Platon đã từng coi Toán học xuất phát từ những cái ở thế giới bên kia; Aristote cũng sáng tạo ra logic hình thức theo đúng nghĩa, là việc chúng ta thu được những tri thức mới từ...

Toán học chắc chắn là một trong các khoa học xuất hiện sớm nhất (nếu không muốn nói là khoa học đầu tiên). Nó xuất hiện không phải do thời xưa có mấy ông rỗi hơi, không có việc gì làm nên mới ngồi bịa ra các con số, các phép tính để giết thời gian. Toán học nảy sinh do yêu cầu của đời sống kinh tế. Ngay từ buổi đầu tiên, loài người đã có những kiến thức Toán học do ảnh hưởng của ngay cả những hoạt động sản xuất sơ khai nhất. Chẳng hạn, để xác định số lượng động vật trong một bầy, số lượng hoa màu thu hoạch được trong một mùa,..., mà nảy sinh ra phép đếm và do đó làm xuất hiện khái niệm số. Chúng ta có thể thấy điều này qua danh từ “calculus” (tính toán) nghĩa là “đếm bằng đá”, vì ngày xưa người ta thường đếm các đối tượng bằng ngón tay, bằng que, bằng đá,... Phân số xuất hiện do yêu cầu đo lường các đại lượng. Nhu cầu về đo, tính toán diện tích các khu đất, đo các vật thể hình khối, nhà cửa ... cũng làm nảy sinh các phép tính hình học. Ngay cả đến các thời kỳ sau này, chúng ta cũng kể ...

5. Nhìn những sự kiện, vấn đề quen thuộc dưới góc độ khác. Nhiều khái niệm, định nghĩa cho đối tượng tóan học hoặc các tính chất thật ra liên hệ đến quá trình thực hiện theo thứ tự 2 công đoạn khác nhau. Nếu hai công đoạn này có thể hoán vị được thì ta có khái niệm mới hoặc tính chất mới. Sau đây là một số ví dụ như vậy. - Tính liên tục của hàm số, ánh xạ: Có thể diễn tả một cách đơn giản bằng công thức lim f(x_n) = f(lim x_­n) khi x­­_n tiến về x0, đó là hai quá trình tính giá trị của hàm và lấy giới hạn có thể hoán vị cho nhau. - Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân hay đạo hàm của dãy hàm chẳng qua là sự hoán vị giữa phép toán lấy giới hạn với phép lấy tích phân (đạo hàm) - Cho X, Y là các nhóm cộng, f: X -> Y là một ánh xạ. Ta nói f là một đồng cấu nhóm nếu với mọi a, b trong X, f(a+b) = f(a)+f(b). Vế trái thể hiện việc làm phép cộng xong mới tác động ánh xạ f vào, vế phải thì tác động ánh xạ f vào trước xong mới cộng lại. Hai quá trình ngược nhau nhưng vẫn như nh...

3. Minh hoạ khái niệm toán học nhờ những sự kiện tương tự trong thực tiễn. - Khái niệm không gian (mêtric, tôpô) khả ly: là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích. Một không gian khả ly nếu trong nó tồn tại một tập hữu hạn hay đếm được, trù mật khắp nơi. Tại sao người ta coi trọng những không gian khả ly? Một trong những lý do là vì chúng dễ xử lý và kiểm soát. Chỉ cần thu thập, kiểm soát những thông tin trên một tập khá nhỏ (tập hữu hạn hoặc đếm được các phần tử), trù mật trong không gian đã cho thì sẽ kiểm soát thu thập được thông tin trên toàn thể không gian. Có thể thấy ngay một ví dụ về một tập hợp trù mật ấy, chẳng hạn trong mỗi quốc gia, để nắm tình hình an ninh, Bộ Công an bố trí lực lượng công an khu vực như là một tập hợp trù mật trong một quốc gia vậy. Rõ ràng tình hình trật tự, trị an trong toàn quốc được phản ảnh bởi lực lượng công an khu vực này. Trong toán học, yêu cầu tập trù mật là "không quá đếm được", ngoài ý nghĩa tiết kiệm, còn có ý nghĩa hết ...

Mục này sẽ trích đăng bài viết "Một số kinh nghiệm trong việc liên hệ các yếu tố toán học với thực tiễn" của PGS.TS Nguyễn Hoàng 1. Minh hoạ nhờ chuyện cổ tích, chuyện vui. Nhiều chuyện cổ tích trong và ngoài nước đôi khi ẩn chứa một sự kiện toán học nào đó ta có thể khai thác để kể trong lúc giảng bài đến chủ đề phù hợp. Vài ví dụ quen thuộc có thể dẫn ra như sau: - Chuyện Vương Khải và Thạch Sùng khoe của: "Nhà anh có bất cứ bảo vật gì thì nhà tôi cũng có," Thạch Sùng tuyên bố. Vương Khải chấp nhận thách thức đánh cuộc để rồi cuối cùng Thạch Sùng ôm hận thất bại vì còn thiếu mẻ kho, có thể minh hoạ hai tập hợp không có cùng lực lượng. - Chuyện về nhân vật Nasreddin của xứ sở BaTư. Một lần, nhà thông thái hỏi Nasreddin rằng, có bao nhiêu sợi lông trên đuôi con lừa mà ông ta đang cưỡi. Nasreddin trả lời rằng nó đúng bằng số râu của nhà thông thái. Khi yêu cầu chứng minh, Nasreddin bảo như sau: "Cứ mỗi lần ông nhổ một sợi lông trên đuôi lừa, tôi sẽ nhổ một sợi r...